gfvfghgh

hhhcbskjcbjkcbjkcb

Read more ...

Aries

4. Aries – Domba Jantan
      (21 Maret – 19 April)
Agresif, Energik, Impulsif, Berjiwa Pemimpin, Tidak Sabaran, Egois, Cepat Emosi
Nomor Keberuntungan: 2,5,11,34,47
Aroma Keberuntungan: Lada Hitam, Cengkeh, Ketumbar, Kemtumbar, Kemenyan, Jahe, Pohon Cemara, Kayu-kayuan.
Planet Yang Mengitari: Mars
Bunga Keberuntungan: Bunga Daisy
Warna Keberuntungan: Merah
Batu Keberuntungan: Batu Delima
Elemen Keberuntungan: Api
Pasangan Serasi: Sagittarius
Aries adalah simbol sebuah permulaan baru.
Orang Aries menjadi pemimpin zodiak-zodiak lainnya, agresif dan penuh kreativitas yang memungkinkan mereka untuk berinisiatif dalam mengadakan perubahan.
Selayaknya domba jantan, mereka selalu bertindak cepat tanpa berpikir panjang terlebih dahulu.
Mereka lebih senang mencari penghargaan daripada kekayaan dan biasanya lebih suka berbicara terus terang daripada berbasa-basi untuk mendapatkan apa yang diinginkannya.
Kebanyakan dari mereka sukses berkat sikap mereka yang pantang menyerah.
Aries merupakan orang yang penuh energi, pandai beradaptasi dan cepat belajar.
Mereka memiliki banyak ide-ide cemerlang dan berambisis tinggi. Keras kepala, antusisas dan penuh orientasi.
Bila mereka ingin sesuatu, tidak ada yang dapat menghalanginya. Mereka siap mengambil tindakan tanpa memikirkan resiko yang dapat mencelakakan diri mereka sendiri.
Aries bukan seorang pengikut yang baik.
Mereka memiliki semua kemampuan yang dibutuhkan untuk menjadi pemimpin yang baik,
namun sikapnya yang suka memerintah membuat orang menjauhi dirinya.

*Yang Anda sukai: Orang yang tulus, kebebasan, kesibukan, tertawa terhadap lelucon dan film seram (kadang-kadang).

*Yang tidak Anda sukai: Gosip, rekan yang gampang berubah mood, dipandang remeh, dan Anda sangat benci kebohongan.

Kemampuan terbaik Anda: Memimpin kelompok, mendorong diri anda sendiri sampai batas, dan membuat keputusan yang rumit.

*Diri Anda yang dalam : Anda adalah orang yang sensitif dan lembut, dengan keinginan besar untuk hidup dan mencintai. Anda bermimpi untuk memiliki sekelompok teman, lingkungan yang menyenangkan dan liburan yang penuh petualangan liar.

*Karir Anda : Pilihlah pekerjaan di penerbitan, dunia hiburan, atau dakilah tangga menuju puncak pimpinan. Dimanapun anda bertugas untuk menangani proyek yang menarik dan menantang.

*Busana : Pakaian ketat dengan warna yang menyala (terutama merah) akan nampak indah pada diri anda – begitu juga pakaian sporty atau apapun yang lagi ngetrend. Baju yang mengembang dan kecewekan tidak akan cocok untuk gaya anda.

*Sebagai teman : Tipe yang ramah dan fokus, anda ingin semua orang bahagia. Anda tidak tahan dengan ketidak jujuran atau orang yang membicarakan anda dibelakang anda, dan anda tidak malu mengkonfrontasi mereka jika mereka membicarakan anda seperti itu.

*Sebagai pacar (cewek) : Anda memimpin hubungan, menggoda pacar Anda dengan ciuman penuh gelora dan terkadang meremas pantat cowok Anda dengan sembunyi-sembunyi. Jika dia memang menginginkan Anda, maka ia akan membalas dengan kencan hot dan berbagai hadiah.

*Jika cowok Anda Aries : Ia tidak suka selalu ‘ada’, jadi terkadang biarkanlah ia bebas dan berpura-puralah bahwa pada saat itu ia memang benar-benar bebas. Puji dia dengan mengatakan bahwa ia cerdas, hebat, dan menarik, dan ia akan memakan semua pujian itu. Tetapi berhati-hatilah dengan emosinya, ia akan sangat mengerikan jika marah. Bermainlah dengan tenang sampai ia ikut mendingin dan tunggu sampai ia meminta maaf. Pasti dia yang salah kan?

Read more ...

Menebak Karakter Melalui Zodiak

Cancer – Kepiting
     (22 Juni – Juli 22)
Suasana Hati Tidak Menentu, Sentimentil, Setia, Penuh Perhatian, Sulit Memaafkan, Memiliki Daya Ingat Yang Kuat
Nomor Keberuntungan: 5, 7, 16, 23, 28, 41
Aroma Keberuntungan: Bunga Melati, Lemon, Mawar, Lily, Kismis
Planet Yang Mengitari: Bulan
Bunga Keberuntungan: Bunga Lily, Mawar Putih.
Warna Keberuntungan: Putih
Batu Keberuntungan: Batu Bulan, Mutiara
Elemen Keberuntungan: Air
Pasangan Serasi: Capricorn
Cancer adalah pribadi yang penuh emosi, sensitif.
Selayaknya kepiting mereka sangat protektif dan memiliki pertahanan diri yang tinggi.
Mereka takut pada cemoohan, dan akan bekerja dengan diam-diam dibelakang layar untuk mendapatkan apa yang telah mereka rencanakan.
Mereka tidak mau mengambil resiko dalam hidupnya dan selalu konsisten membayar hutang mereka.
Cancer sangat mendambakan kerapian dan kebersihan.
Cancer sangat simpatik terhadap orang lain oleh karena itu sulit mengerti seperti apa sebenarnya pribadi mereka.
Cancer memiliki intuisi yang kuat dan dapat mengetahui pikiran-pikiran dan perasaan yang ada pada orang-orang yang dijumpai. Mereka bisa menjadi sangat agresif jika seseorang menantang mereka, maka dari itu jangan main-main dengan kepiting kecuali kamu siap untuk dicapit oleh mereka.
Asmara para Cancer: Zodiak ini tertarik pada kecantikan, namun demikian mereka juga mendambakan kecerdasan didalam kecantikan, karena mereka menawarkan kasih sayang, kesetiaan, dan pesona intelektualitas, mereka menyukai pasangan yang memiliki kriteria tersebut. Bila mereka telah jatuh hati padamu, mereka tidak akan pernah melepaskanmu. Mereka senantiasa melindungimu dan selalu memberikan rasa aman dan nyaman. Mereka akan selalu melakukan apapun bagi pasangannya.
Asmara para Aries: Hal ini terlihat jelas apabila para Aries sedang jatuh cinta.
Mereka akan mengejar apa yang mereka inginkan sampai dapat.
Apabila ini terjadi pada kalian, berhati-hatilah. Aries tidak pernah mau menerima jawaban tidak.
Sayangnya, jika kamu tidak bisa mengikuti jalan hidupnya, mereka akan meninggalkanmu dan berpindah ke lain hati.

*Yang Anda sukai : Menghabiskan waktu dirumah, berkumpul bersama keluarga, membuat pizza bersama teman-teman, dan mendengarkan musik lembut.

*Yang tidak Anda sukai : Film keras, orang yang meneriaki Anda, dan dikecewakan oleh orang yang Anda sayangi.

*Kemampuan terbaik Anda : Memuji orang lain, menjadi pendengar yang baik, dan menjadi rekan yang dipercaya dan setia

*Diri Anda yang dalam : Anda ingin ketenangan lebih dari segalanya. Rumah sangatlah penting untuk Anda dan jika ada permasahalan keluarga, Anda akan mudah putus asa.

*Karir Anda : Menjadi musisi, jurnalis, dekorator interior, ataupun chef.

*Busana : Orang Cancer cenderung memiliki selera sederhana: baju longgar dengan kain natural dan warna gelap. Anda lebih menyukai baju yang tidak repot dipakai, tetapi tidak berarti Anda tidak suka untuk membuatnya tampak glamor, terutama ketika mood Anda sedang pas.

*Sebagai teman : Anda adalah orang yang lembut yang mungkin akan sangat posesif kepada teman Anda. Jika seseorang membuat Anda kecewa, anda mungkin akan ngambek selama berhari-hari. Tetapi jika Anda merasa aman, maka pribadi Anda yang murah hari akan segera mengambil alih, dan teman Anda akan dimanjakan habis-habisan.

*Sebagai pacar (cewek) : Anda sensitif dan mudah sekali berubah mood, maka Anda akan sangat menikmati godaan dan ciuman untuk membuat anda selalu bahagia. Anda cukup tertutup, dan Anda pertama kali sering malu untuk mengungkap perasaan Anda, tetapi sekali Anda berhasil di’panas’kan, maka cowok Anda akan tahu segalanya mengenai Anda.

*Jika cowok Anda Cancer : Hati-hati. Ia memiliki hati yang ultra-lembut yang gampang patah. Ia bukan tipe orang yang suka berpetualangan seru, ia menikmati waktu bersama Anda dan akan sedikit menempel pada anda ketika anda ingin bertualang sendiri.

Read more ...

Menebak Karakter Dengan Zodiak

Aquarius – Pembawa air
     (21 Januari – 19 Februari)
Tenang, Obyektif (Tidak Memihak), Jenius, Penuh Ide, Cepat Mengerti
Nomor Keberuntungan: 8, 14, 29, 35, 40, 47
Aroma Keberuntungan: Lavender, Lemon, Kayu Pinus
Planet Yang Mengitari: Uranus
Bunga Keberuntungan: Bunga Narsis, Bunga Pansy
Warna Keberuntungan: Hijau, Kuning Muda
Batu Keberuntungan: Batu Permata Berwarna Hijau Lumut
Elemen Keberuntungan: Udara
Pasangan Serasi: Leo
Para Aquarius bersifat progresif, inovatif dan penuh gagasan.
Individu ini sangat progresif dalam cara berpikir, cenderung individualistik dan enggan mengikuti keramaian.
Walaupun pada dasarnya mereka tidak antusias untuk menjadi pemimpin, beberapa diantaranya berhasil menjadi pemimpin.
Sikapnya eksentrik, penuh keyakinan, namun keras kepala.
Mereka cenderung bersikap adil.
Dalam bekerja selalu penuh keseriusan, walaupun dari luar mereka nampak tenang, namun di dalam hatinya mereka sangat takut dan gugup.
Aquarius suka barang-barang mewah, namun tidak serakah.
Mereka tidak menyukai adat istiadat dan peraturan-peraturan kuno dalam keluarganya dan cenderung melanggar peraturan.
Mereka suka mengikuti kata hatinya bila menyangkut masalah perasaan.
Mereka cenderung menyakiti dirinya sendiri daripada menyakiti orang lain.
Aquarius dapat menyelesaikan masalah karena mereka mampu keluar dari dilema.
Mereka peduli pada hal-hal besar dan sangat manusiawi.
Aquarius pribadi yang senang menyendiri, perlu banyak waktu untuk mengenal mereka karena mereka hanya membuka diri pada orang yang mereka percaya, hormati dan cintai
Asmara para Aquarius: Kaum Aquarius tertarik pada pasangan yang memiliki kepandaian.
Mereka senang mencoba termasuk mencoba hal baru dalam hal percintaan dan romantisme.
Kaum Aquarius kadnag bersikap dingin dan acuh namun dibalik semuanya itu dia sangat pasangan yang penuh kasih yang selalu mencoba hal baru dan lain dari yang biasanya.
Mereka cenderung perhatian dan setia bila kamu mulai mengenal Cancer.
Mereka berjiwa patriot dan sangat melindungi semua yang mereka sayangi.
Mereka sangat membanggakan lingkungan tempat tinggalnya dan senang mengundang teman-temannya berkunjung di rumahnya.
Kegemarannya mengumpulkan barang-barang membuat orang menjulukinya gudang tikus.
Mereka memiliki ingatan yang luar biasa dan akan selalu mengingatkanmu akan hal-hal yang telah kamu lakukan di masa yang lalu, terutama hal-hal yang ingin kamu lupakan.
Para cancer merupakan orang yang penuh kasih, setia dan penuh welas asih. Kebutuhannya untuk mendapatkan rasa aman dan keseimbangan dalam hidup sangat didambakan.

*Yang Anda sukai : Melawan aturan, membagikan ide baru dan mencoba berbagai gaya rambut baru yang ‘gila’

*Yang tidak Anda sukai : Terjebak dalam rutinitas, penyiksaan hewan, dan polusi pada planet ini.

*Kemampuan terbaik Anda : Menemukan hal baru dan mencari ide brilian untuk membuat dunia menjadi lebih baik

*Diri Anda yang dalam : Anda sangat peduli terhadap planet Anda dan semua orang didalamnya. Keinginan terbesar Anda adalah untuk memerangi kemiskinan, perang dan polusi. Jika orang lain bisa melakukannya, maka Andapun bisa.

*Karir Anda : Penemu, jurnalis TV, refleksologis, dan ahli komputer.

*Busana : Anda seorang yang individual, namun gaya. Anda suka pakaian etnis dan mencintai warna cerah (terutama biru dan torquise). Anda sering memakai warna cemerlang, sehingga orang menertawakan Anda, tetapi beberapa minggu kemudian, mereka meniru Anda.

*Sebagai teman : Anda akan melintasi api dan menelan kaki kodok untuk teman Anda. Menjadi teman yang baik adalah kemampuan Andayang terbaik dan walaupun mereka pikir Anda sedikit gampang marah, mereka menyukai anda karena anda sangat manis dan pribadi paling menyenangkan di planet ini.

*Sebagai pacar (cewek) : Anda menginginkan seorang cowok sebagai teman dekat, jadi Anda akan mencari seseorang yang dapat selalu bersama dan juga pandai mencium. Kebebasan sangatlah penting bagi Anda, jadi cowok yang selalu menempel atau selalu ingin perhatian 24 jam penuh tidak akan bisa lama berhubungan dengan Anda.

*Jika cowok Anda Aquarius : Cowok semacam ini sangat peduli akan lingkungan, orang miskin, dan keadaan dunia. Ia orang yang baik, sedikit konyol, maka jangan berharap Anda akan menerima romansa penuh ciuman.

Read more ...

Read more ...

teori bilangan

BAHAN KULIAH

TEORI BILANGAN

(BAGIAN II)

Disampaikan oleh

Abdul Jabar

STKIP PGRI BANJARMASIN

JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEPTEMBER 2011

BAB 5

KONSEP DASAR KONGRUENSI

Uraian

       Kongruensi merupakan bahasa teori bilangan karena pembahasan teori bilangan bertumpu kongruensi. Bahasa kongruensi ini diperkenalkan dan dikembangkan oleh Karl Friedrich Gauss,  matematisi paling terkenal dalam sejarah, pada awal abad sembilan belas, sehingga sering disebut  sebagai Pangeran Matematisi (The Prince of Mathematici-

ans). Meskipun Gauss tercatat karena temuan-temuannya di dalam geometri, aljabar, analisis, astronomi, dan fisika matematika, ia mempunyai minat khusus di dalam teori bilangan dan mengatakan bahwa “mathematics is the queen of sciences, and the theory of numbers is the queen of mathematics” . Gauss merintis untuk meletakkan teori bilangan modern di dalam bukunya Disquistiones Arithmeticae pada tahun 1801.

       Secara tidak langsung kongruensi sudah dibahas sebagai bahan matematika di sekolah dalam bentuk bilangan jam atau bilangan bersisa. Peragaan dengan menggunakan tiruan jam dipandang bermanfaat karena peserta didik akan langsung praktek untuk lebih mengenal adanya system bilangan yang berbeda yaitu system bilangan bilangan jam, misalnya  bilangan jam duaan, tigaan, empatan, limaan, enaman, dan seterusnya.

     Kemudian, kita telah mengetahui bahwa bilangan-bilangan bulat lebih dari 4 dapat di “reduksi” menjadi 0, 1, 2, 3, atau 4 dengan cara menyatakan sisanya jika bilangan itu dibagi dengan 5, misalnya 13 dapat direduksi menjadi 3 karena 13 dibagi 5 bersisa 3, 50 dapat direduksi menjadi 0 karena 50 dibagi 5 bersisa 0, dan dalam bahasa kongruensi dapat dinyatakan sebagai 13 ≡ 3 (mod 5) dan   50 ≡ 0 (mod 5).

Definisi 5.1

Ditentukan p,q,m adalah bilangan-bilangan bulat dan m  0. p disebut kongruen dengan q  modulo m, ditulis  p ≡ q (mod m) jika  dan  hanya jika m │ p - q .

Jika  m |  p – q maka ditulis  p ≡ q (mod m), dibaca p tidak kongruen q modulo m.

Contoh 5.1

10 ≡ 6 (mod 2) sebab 2 │ 10 – 6 atau 2 │ 4

13 ≡ -5 (mod 9) sebab 9 │ 13 – (-5) atau 9 │ 18

107 ≡ 2 (mod 15) sebab 15 │ (107 – 2) atau 15 │ 105

Teorema 5.1

Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat, maka p ≡ q (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat t sehingga p = q + tm

Bukti :

Jika p ≡ q (mod m), maka m │ p – q . Ini berarti bahwa $ tÎ Z ' tm = p – q, atau p = q + tm. Sebaliknya, jika ada suatu bilangan bulat t yang  memenuhi  p = q + tm,  maka dapat ditentukan bahwa   tm = p – q,  dengan  demikian m │ p – q , dan akibatnya  berlaku  p ≡ q (mod m).

Contoh 5.2

23 ≡ -17 (mod 8) dan 23 = -17 + 5.8

Teorema 5.2

Ditentukan m adalah suatu bilangan bulat positif.

Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat berikut :

(a)  Sifat Refleksif.

Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka p ≡ p (mod m) 

(b)  Sifat Simetris.

Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga p ≡ q (mod m),maka p ≡ q (mod m)

(c)   Sifat Transitif.

Jika p, q, dan r adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga p ≡ q (mod m) dan q ≡ r (mod m), maka p ≡ r (mod m)

Bukti :   

(a)  Kita tahu bahwa m │ 0, atau m │ p – p , berarti p ≡ q (mod m)

(b)  Jika p ≡ q (mod m), maka m | p – q, dan menurut definisi keterbagian, ada suatu bilangan bulat t sehingga tm = p – q,  atau (-t)m = q – p , berarti  m │ q – p. Dengan demikian  q ≡ p (mod m)

(c)   Jika p ≡ q (mod m) dan q ≡ r (mod m) , maka m│p – q dan m│q – r, dan menurut definisi keterbagian, ada bilangan-bilangan bulat s dan t sehingga sm = p – q dan  tm = q – r . Dengan demikian dapat ditentukan  bahwa p – r = (p – q) + (q – r) = sm + tm = (s + t)m. Jadi m│ p – r , dan akibatnya q ≡ r (mod m) 

Contoh 5.3

5 ≡ 5 (mod 7) dan -10 ≡ -10 (mod 15) sebab 7│5 – 5 dan 15│-10 – (-10)

27 ≡ 6 (mod 7) akibatnya  6 ≡ 27 (mod 7) sebab 7│6 – 27 atau 7│(-21)  

45 ≡ 21 (mod 3) dan 21 ≡ 9 (mod 3), maka 45 ≡ 9 (mod 3) sebab 3│45 – 9 atau 3│36

Teorema 5.3

Jika  p, q, r, dan m  Î Z dan   m > 0  ' p ≡ q (mod m) , maka :

(a) p + r ≡ q + r (mod m)

(b) p – r ≡ q – r (mod m)

(c) pr  ≡  qr (mod m)

Bukti :

(a)       Diket p ≡ q (mod m), maka m│p – q . Selanjutnya dapat  ditentukan  bahwa p – q = (p + r) – (q + r) ,  berarti m│p – q berakibat  m │ (p + r) – (q + r). Dengan demikian p + r ≡ q + r (mod m).

(b)  Kerjakan, ingat bahwa p – q = (p – r) – (q – r) .

(c)  Diketahui p ≡ q (mod m),  maka m│ p – q ,  & menurut  teorema  keterbagian, m │ r(p – q) untuk sebarang bilangan bulat r, dengan demikian m │ pr – qr. Jadi pr │qr (mod m) .

Contoh 5.4

43│7 (mod 6) , maka 43 +5│ 7 + 5 (mod 6) atau 48│12 (mod 6)

27 │6 (mod 7) , maka 27 – 4 │6 – 4 (mod 7) atau 23│ 2 (mod 7)

35│3 (mod 8) , maka 35.4│5.4 (mod 8) atau 140│12 (mod 8)

Contoh 5.5

Perhatikan bahwa teorema 5.3(c) tidak bisa dibalik, artinya  jika   pr ≡ qr (mod m),  maka belum tentu bahwa p ≡ q (mod m), misalnya 24 = 4.6 , 12 = 4.3, dan 24 ≡ 12 (mod 6) atau 4.6  ≡ 4.3 (mod 6), tetapi 6 ≡ 3 (mod 6).

Teorema 5.4

Jika  p, q, r, s, m   adalah   bilangan-bilangan   bulat  dan  m > 0  sedemikian   hingga  p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m) , maka :

 (a) p + r ≡ q + s (mod m)

 (b) p – r ≡ q – s (mod m)

 (c) pr  ≡  qs (mod m) 

Bukti :

(a)       p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m), maka m│ p – q dan m│ r – s , maka tentu ada bilangan bulat  t dan u  sehingga tm = p – q  &  um = r – s , dan (p + r) – (q + s) = tm – um = m(t – u). Dengan demikian m│(p + r) – (q + s), atau p + r ≡ q + s (mod m).

(b) Kerjakan, perhatikan bahwa (p – r) – (q – s) = (p – q) – (r – s)

(c) p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m), maka m│ p – q dan m│ r – s , maka tentu ada bilangan-bilangan bulat  t dan u  sehingga tm = p – q  dan  um = r – s , dan pr – qs = pr – qr + qr – qs = r(p – q) + q(r – s) = rtm + qum = m (rt + qu).

Dengan demikian m │ pr – qs , atau pr  ≡  qs (mod m) 

Contoh 5.6

36 ≡  8(mod 7) dan 53 ≡ 4 (mod 7), maka 36 + 53 ≡ 8 + 4 (mod 7) atau 89 ≡ 12 (mod 7)

72  ≡7 (mod 5) dan 43 ≡ 3 (mod 5), maka 72 – 43 ≡  7 – 3 (mod 5) atau 29 ≡ 4 (mod 5)

15 ≡ 3 (mod 4) dan 23 ≡ 7 (mod 4) maka 15.23 ≡ 5.7 (mod 4) atau 345 ≡ 21 (mod 4)

Teorema 5.5

(a) Jika p ≡ q (mod m), maka pr ≡ qr (mod mr)

(b) Jika p ≡ q (mod m) dan d│m , maka p ≡ q (mod d)

Bukti :

(a)  p ≡ q (mod m), maka sesuai definisi 5.1, m│p – q , dan menurut teorema 3.8 dapat  ditentukan bahwa rm│r(p – q) atau mr│pr – qr , dan berdasarkan definisi 5.1 dapat  ditentukan bahwa pr ≡ qr (mod mr)

(b) p ≡ q (mod m), maka sesuai definisi 5.1, m│p – q . Berdasarkan teorema 3.2, d│m dan m│p – q berakibat d│p – q, dan sesuai dengan  definisi 5.1, p ≡ q (mod d) 

Teorema 5.6

Diketahui bilangan-bilangan bulat a, p, q, m, dan m > 0.

(a) ap ≡ aq (mod m) jika dan hanya jika p ≡ q (mod m/(a,m))

(b) p ≡ q (mod m ) dan p ≡ q (mod m) jika dan hanya jika p ≡ q (mod  [m, m])

Bukti :

 (a)  ()           

ap ≡ aq (mod m), maka sesuai definisi 5.1, m│ap – aq, dan sesuai def 3.1 ap – aq = tm untuk suatu t  Z, berarti a(p – q) = tm. Karena (a,m)│a dan  (a,m)│ m, maka (a/(a,m))(p – q) = (m/(a,m))t, dan sesuai dengan def 3.1, dapat ditentukan bahwa (m/(a,m))│(a/(a,m)(p – q).  

Menurut teorema 3.14, (m/(a,m), a/(a,m)) = 1, dan menurut teorema 3.15, dari  (m/(a,m),a/(a,m)) = 1 dan (m/(a,m))│(a/(a,m))(p – q)  berakibat (m/(a,m))│(p – q).

Jadi menurut definisi 5.1, p ≡ q (mod m/(a,m)) .

      ()

p ≡ q (mod m/(a,m)), maka menurut teorema 5.5(a), ap ≡ aq (mod am/(a,m)).  Selanjutnya, karena m │am/(a,m), dan ap ≡ aq (mod am/(a,m)),  maka  berdasarkan  pada teorema 5.5 (b) , ap ≡ aq (mod m).

(b)  Buktikan ! 

Contoh 5.7

8p ≡ 8q  (mod 6) dan (8,6) = 2, maka p ≡ q (mod 6/2) atau p ≡ q (mod 3)

12p  ≡ 12q (mod 16) dan (12,16) = 4, maka p ≡ q (mod 16/4) atau p ≡ q (mod 4)

Contoh 5.8

p ≡ q (mod 6) dan p ≡ q (mod 8), maka p ≡ q (mod [6,8]) atau p ≡ q (mod 24) 

p ≡ q (mod 16) dan p ≡ q (mod 24), maka p ≡ q (mod [16,24]) atau p ≡ q (mod 48)

Tugas dan Latihan

Tugas

Bacalah suatu buku teori bilangan, dan carilah teorema-teorema yang belum dibuktikan. Selanjutnya buktikan bahwa :

1.    Jika p, q, t, dan m adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga t > 0, m > 0 dan p ≡ q (mod m), maka p≡  q (mod m)

2.    Jika p, q  Z dan m, m, …, m  Zsedemikian hingga p ≡ q (mod m), p ≡ q (mod m),  …, dan p ≡ q (mod m) , maka p ≡ q (mod [m, m, …, m])

Latihan

1.     Diketahui p, q, m adalah bilangan bulat dan m > 0 sedemikian hingga p ≡ q (mod m)

Buktikan : (p,m) = (q,m)

2.      Buktikan

(a) jika p adalah suatu bilangan genap, maka  p≡ 0 (mod 4)

(b) jika p adalah suatu bilangan ganjil, maka p≡ 1 (mod 4)

3.      Buktikan jika p adalah suatu bilangan ganjil, maka p≡ 1 (mod 8)

4.      Carilah sisa positif terkecil dari 1! + 2! + … + 100!

(a) modulo 2

(b) modulo 12

5.      Tunjukkan bahwa jika n adalah suatu bilangan genap  positif, maka:

1 + 2 + 3 + … + (n + 1)  ≡ 0 (mod n)

Bagaimana jika n adalah suatu bilangan ganjil positif ?

6.      Dengan menggunakan induksi matematika, tunjukkan bahwa  4≡ 1 + 3n (mod 9)   jika n adalah suatu bilangan bulat positif.

BAB 6

SISTEM    RESIDU

Uraian

       Sistem residu merupakan topik yang memberikan dasar untuk mengembangkan pembahasan menuju teorema Euler, dan pada bagian lain terkait dengan fungsi-fungsi khas (special functions) dalam teori bilangan.

       Bagian-bagian dari system residu meliputi system residu yang lengkap dan system residu yang tereduksi. Sebagai suatu system, system residu mempunyai sifat-sifat khusus yang terkait dengan bagaimana membuat system residu, atau mencari contoh yang memenuhi syarat tertentu.

Definisi 6.1

Suatu  himpunan {x, x, … , x} disebut suatu  system  residu  lengkap  modulo m jika dan hanya jika  untuk  setiap y  dengan  0 ≤ y < m , ada  satu  dan  hanya  satu x dengan 1 ≤ i < m , sedemikian hingga y ≡ x(mod m) atau x≡ y (mod m).

Perhatikan bahwa indeks dari x yang terakhir adalah m, dan hal ini  menunjukkan  bahwa banyaknya unsur dalam suatu system residu lengkap modulo m adalah m. Dengan demikian, jika ada suatu himpunan yang banyaknya unsur kurang dari m atau lebih dari m , maka himpunan itu tentu bukan merupakan suatu system residu lengkap modulo m.

Selanjutnya, karena pasangan-pasangan kongruensi antara y dan xadalah tunggal,  maka tidak ada y  yang  kongruen dengan dua unsur x yang berbeda, misalnya  x dan x,  dan tidak ada x yang kongruen dengan dua nilai y. Dengan  demikian, tidak ada dua unsur x yang berbeda dan kongruen, artinya xtidak kongruen xmodulo m jika i  j.

Contoh 6.1

1.    Himpunan A = {6, 7, 8, 9} bukan merupakan  system  residu  lengkap  modulo 5 sebab  banyaknya unsur A kurang dari 5

2.    Himpunan A = {6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu system residu lengkap modulo 5 sebab  untuk setiap y dengan  dengan  0 ≤ y < 5 , ada  satu  dan  hanya  satu x  dengan  1 ≤ i < 5  sedemikian hingga  y ≡ x(mod 5) atau x≡ y (mod 5).

Nilai-nilai y   yang   memenuhi 0 ≤ y < 5 , adalah  y = 0, y = 1, y = 2, y = 3, y = 4,  atau y = 5 . Jika kita selidiki, maka kita peroleh bahwa :

        10 ≡ 0 (mod 5)                          8 ≡ 3 (mod m)               6 ≡ 1 (mod m)

        9   ≡ 4 (mod 5)                          7 ≡ 2 (mod m)

Dengan  demikian  untuk setiap y dengan  y = 0, 2, 3, 4, 5 , ada satu  dan hanya satu x    dengan x= 6, 7, 8, 9, 10 , sedemikian hingga x≡ y (mod m). Jadi A adalah suatu sistem residu lengkap modulo 5.

3.    Himpunan B = {4, 25, 82, 107} adalah suatu system  residu  lengkap  modulo 4 sebab untuk  setiap y  dengan  0 ≤ y < 4 , ada  satu   dan   hanya   satu x  dengan   1 ≤ i < 4   sedemikian hingga y ≡ x(mod 4) atau x≡ y (mod 4). 

         4   ≡ 0 (mod 4)                          82  ≡ 2 (mod 4)

         25 ≡ 1 (mod 4)                         107 ≡ 3 (mod 4)

4.    Himpunan C = {-33, -13, 14, 59, 32, 48, 12} adalah suatu system residu  lengkap  modulo 7 sebab untuk  setiap y  dengan 0 ≤ y < 7 , ada  satu   dan   hanya   satu xdengan  1 ≤ i < 7 sedemikian hingga y ≡ x(mod 7) atau x≡ y (mod 7).

         -33 ≡ 0 (mod 7)                     59 ≡ 3 (mod 7)             8 ≡ 1 (mod 7)

         -13 ≡ 0 (mod 7)                   32 ≡ 3 (mod 7)                  12 ≡ 1 (mod 7)

          14 ≡ 0 (mod 7)                      

5.    Himpunan D = {10, -5, 27} adalah bukan suatu system residu lengkap modulo 3 sebab Untuk suatu   y = 1 dengan 0 ≤ y < 3 , ada  lebih dari satu x(yaitu 10 dan -5)  sehingga

          10 ≡ 1 (mod 3)                          -5  ≡ 1 (mod 3)

6.    Algoritma pembagian menunjukkan bahwa  himpunan  bilangan  bulat  0, 1, … , m – 1    merupakan suatu system residu lengkap modulo m, dan disebut sebagai residu non negatif terkecil modulo m.

Definisi 6.2

Suatu  himpunan  bilangan  bulat {x, x, … , x} disebut suatu system residu tereduksi modulo m jika dan hanya jika :

(a) (x, m) = 1 , 1 ≤  i <  k

(b)  x ≡   x(mod m) untuk setiap  i  j

(c) Jika (y,m) = 1, maka y ≡ x(mod m) untuk suatu i = 1, 2, … , k

Contoh 6.2

1. Himpunan {1,5} adalah suatu system residu tereduksi modulo 6 sebab :

       (a) (1,6) = 1 dan (5,6) = 1

       (b) 5 ≡ 1 (mod 6)

2. Himpunan {17, 91} adalah suatu system residu tereduksi modulo 6 sebab :

       (a) (17,6) = 1 dan (91, 6) = 1

       (b) 91 ≡ 17 (mod 6)

Suatu system residu tereduksi modulo m dapat diperoleh dari system residu lengkap modulo m dengan membuang unsur-unsur yang tidak relative  prima  dengan m. Hal  ini dapat dilakukan karena {0, 1, 2, … , m – 1 } adalah suatu system residu yang lengkap modulo m karena  untuk  setiap y  dengan  y = 0, 1, 2, …, m – 1, ada satu dan hanya satu x= 0, 1, 2, …, m–1 sehingga y ≡ x(mod m) . Keadaan y ≡ x(mod m) selalu dapat terjadi  dengan memilih y = 0 dan x= 0, y = 1 dan x= 1, … , y = m – 1 dan x= m – 1 .

Karena unsur-unsur {0, 1, 2, … , m – 1} memenuhi tidak ada sepasang yang kongruen, maka setelah unsur-unsur yang tidak relative prima dengan m dibuang, yang tertinggal adalah unsur-unsur yang relative prima dengan m dan tidak ada sepasang yang kongruen.

Dengan demikian unsur-unsur yang tertinggal memenuhi definisi 6.2

Contoh 6.3

1.      Himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah suatu sistem residu lengkap modulo 8. Unsur-unsur  A  yang   tidak   relative  prima  dengan 8 adalah  0, 2, 4, dan 6   karena  (0,8) = 8 1, (2,8) = 2   1, (4,8) = 4 1, dan (6,8) = 2 1. Misalkan B  adalah  himpunan dari unsur-unsur yang tertinggal, maka B = {1, 3, 5, 7}, dan B merupakan suatu  sistem residu tereduksi modulo 8 karena memenuhi definisi 6.1

2.      Himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} adalah suatu system residu lengkap modulo 20. Jika unsur-unsur A yang tidak  relative  prima dengan 20 dibuang, yaitu 0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18 , maka  unsur-unsur  yang tertinggal adalah 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, dan 19. B = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} merupakan suatu system residu tereduksi modulo 20.

Defini 6.3

Ditentukan m adalah suatu bilangan bulat positif. Banyaknya residu di dalam suatu system residu tereduksi modulo m disebut fungsi  -Euler dari m, dan dinyatakan dengan (m).

Contoh 6.4

(2)  = 1, diperoleh dari unsur 1

(3)  = 2, diperoleh dari unsur-unsur 1 dan 2

(4)  = 2, diperoleh dari unsur-unsur 1 dan 3

(5)  = 4, diperoleh dari unsur-unsur 1, 2, 3, dan 4

(16) = 8, diperoleh dari unsur-unsur 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15           

(27) = 18, diperoleh dari unsur 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, dan 26

(p)  = p – 1 jika p adalah suatu bilangan prima

Perhatikan bahwa himpunan {1,2,3,4} merupakan suatu system  residu  tereduksi  modulo 5. Sekarang, coba Anda selidiki, jika masing-masing unsur himpunan dikalikan dengan suatu bilangan yang relative prima dengan 5, misalnya 2, 3, atau 4, sehingga diperoleh himpunan yang lain, maka apakah himpunan-himpunan yang lain tersebut merupakan system-sistem residu yang tereduksi modulo 5 ?

Teorema 6.1

Ditentukan (a,m) = 1. Jika {x, x, … , x} adalah suatu system residu modulo m yang lengkap atau  tereduksi, maka {ax, ax, … , ax} juga  merupakan  suatu  system  residu  modulo  m  yang lengkap atau tereduksi.

Bukti :

Ditentukan bahwa  {x, x, … , x}  adalah  suatu  system  residu  modulo  m  yang lengkap, maka xtidak kongruen xmodulo m jika x x. Harus dibuktikan bahwa axtidak kongruen axmodulo m jika i  j. Misalkan dari unsur-unsur {ax, ax, … , ax} terdapat i  j sehingga berlaku  hubungan ax≡ ax(mod m). Karena (a,m) = 1 dan ax≡ ax(mod m), maka menurut teorema 5.6 (a), dapat ditentukan bahwa x≡ x(mod m), bertentangan dengan ketentuan  {x₁, x₂, … , x_k} merupakan suatu system residu lengkap  modulo m. Jadi tentu  ax tidak  kongruen axmodulo m.

Selanjutnya buktikan jika {x, x, … , x}  adalah  suatu  system  residu  modulo m yang tereduksi.

Contoh 6.5

(a)  Himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan suatu system residu lengkap modulo 6. Jika masing-masing unsur A  dikalikan  dengan 5, yang mana (5,6) = 1, dan setelah dikalikan dimasukkan sebagai unsur himpunan B, maka dapat ditentukan bahwa B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}. Himpunan B merupakan suatu system residu yang lengkap modulo 6 sebab setiap unsur B kongruen dengan satu dan hanya satu y  {0, 1, 2, 3, 4, 5}, yaitu :

      0 ≡ 0 (mod 6)                 10 ≡ 4 (mod 6)             20 ≡ 2 (mod 6)

      5 ≡ 5 (mod 6)                 15 ≡ 3 (mod 6)             25 ≡ 1 (mod 6)

(b)  Himpunan A = {1, 5, 7, 11} adalah merupakan suatu system residu tereduksi modulo 12. Jika masing-masing  unsur A  dikalikan  dengan 17  dengan  (17,12) = 1, dan setelah dikalikan dimasukkan sebagai unsur himpunan B, maka  dapat  ditentukan bahwa B = {17, 85, 119, 187}. Himpunan B merupakan suatu system residu tereduksi modulo 12 sebab setiap unsur B relative prima dengan 12, dan tidak ada sepasang unsur B yang kongruen, yaitu :

                  (17,12) = (85,12) = (119,12) = (187,12) = 1

 17 ≡ 85 (mod 12)               17 ≡ 119 (mod 12)               17 ≡ 187 (mod 12)

 85 ≡ 119 (mod 12)             85 ≡ 187 (mod 12)               119 ≡ 187 (mod 12)

Teorema 6.2 (Teorema Euler)

Jika a, m  Z dan m > 0 sehingga (a,m) = 1, maka a≡ 1 (mod m)

Bukti :

Misalkan bahwa {x, x, … , x} adalah suatu system residu tereduksi modulo m dengan unsur-unsur bilangan bulat positif kurang dari m dan relative prima dengan m, maka menurut teorema 5.7, karena (a,m) = 1, maka {ax, ax, … , ax} juga merupakan suatu system residu tereduksi modulo m. Dengan demikian, residu-residu positif terkecil dari  ax, ax, … , axadalah bilangan-bilangan bulat yang terdapat pada  x, x, … , x dengan urutan tertentu. Akibatnya kita dapat mengalikan semua suku dari masing-masing system residu tereduksi, sehingga diperoleh :

                    ax, ax, … , ax≡   x, x, … , x (mod m)

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa :

                     a x. x …  x  ≡  x. x …  x(mod m)

Selanjutnya, {x, x, … , x} adalah suatu system residu tereduksi modulo m, maka menurut  def 6.2, berlaku  (x, m) = 1. Berdasarkan teorema 3.16, karena (x, m) = 1, yaitu (x,m) = ( x, m) =  …   (x, m) = 1, maka dapat ditentukan bahwa (x. x …  x, m) = 1.

Dari dua keadaan :

                     a x. x …  x  ≡  x. x …  x(mod m) , dan

                      (x. x …  x, m) = 1

dapat ditentukan berdasarkan teorema 5.6 (a) bahwa :

                       a≡ 1 (mod m)

Kita dapat menggunakan teorema Euler untuk mencari inversi modulo m. Jika a dan m adalah relative prima, maka dapat ditentukan bahwa :

                         a≡ 1 (mod m) 

Dengan demikian :

                         a =  a. a ≡ 1 (mod m)      

Jadi a adalah inversi dari a modulo m.

Contoh 6.6

Carilah dua digit terakhir lambang bilangan desimal dari 23

Soal ini dapat dijawab dengan menyatakan maknanya dalam bentuk lain, yaitu sama dengan mencari x jika 23 ≡ x (mod 100). Kemudian bentuk 23 ≡ x (mod 100) dapat dipecah menjadi 23 ≡ x (mod 4) dan 23 ≡ x (mod 25).

(a) mencari x dari 23 ≡ x (mod 4).

     23 ≡ 3 (mod 4), maka 23≡ 9 (mod 4) ≡ 1 (mod 4), sehingga 23 = (23)

     Dengan demikian 23 = (23)≡ 1(mod 4), atau x ≡ 1 (mod 4)

(b) mencari x dari 23 ≡ x (mod 25)

     23 ≡ -2(mod 25), maka 23≡  4(mod 25), 23⁴ ≡  16(mod 25), 23⁸ ≡  6(mod 25),

     23¹⁶ ≡  11(mod 25), 23³² ≡  -4(mod 25), 23⁶⁴ ≡ 16(mod 25), 23¹²⁸ ≡ 6(mod 25), dan

     23²⁵⁶ ≡  11(mod 25)

     Dengan demikian 23⁵⁰⁰ = 23²⁵⁶.23¹²⁸.23⁶⁴.23³².23¹⁶.23⁴ ≡ 11.6.16.(-4).11.16 (mod 25)

                                           ≡ (-4).6.(-4).6 (mod 25) ≡ 576 (mod 25) ≡ 1,  (mod 25), yaitu        

                            x ≡ 1 (mod 25)

Dari hasil (a) dan (b), yaitu x ≡ 1 (mod 4) dan x ≡ 1 (mod 25), maka berdasarkan pada teorema 5.6 (b) , x ≡ 1 (mod [4,25]) x ≡ 1 (mod 100)

Jadi 23 ≡ 1 (mod 100) , berarti dua digit terakhir lambang bilangan decimal dari 23 adalah 01.

Contoh 6.7

Tunjukkan jika (n,7) = 1, n  N, maka 7 │ n⁷ – n

Jawab : Karena (n,7) = 1, maka menurut teorema Euler, n ≡ 1 (mod 7).

              Selanjutnya  , sehingga diperoleh n⁶ ≡ 1 (mod 6) , dan sesuai dengan   definisi 5.1, 7│ n⁶ – 1 , dan akibatnya, sesuai dengan teorema 3.1, 7│n( n⁶ – 1) atau 7│n⁷ – 1

Contoh 6.8

Jika bulan ini adalah bulan Mei, maka carilah 239⁴³ bulan lagi adalah bulan apa

Jawab :

Permasalahan ini dapat diganti dengan mencari x jika 239⁴³ ≡ x (mod 12).

 Karena (239,12) = 1, maka menurut teorema Euler, 239≡ 1 (mod 12).

Selanjutnya , sehingga diperoleh 239⁴ ≡1 (mod 12).

239⁴³ = (239⁴)¹⁰.239³ ≡ 1.239³ (mod 12) ≡ (-1)(-1)(-1) (mod 12) ≡ 11 (mod 12)

             Jadi x = 11, dengan demikian 239⁴³ bulan lagi adalah bulan April.

Contoh 6.9

Kongruensi linier ax ≡ b (mod m) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Euler sebagai berikut :

             ax ≡ b (mod m)

             a^-1.ax ≡ a^-1 .b (mod m)

             x ≡  a^-1 .b (mod m)                     

Penyelesian 7x ≡ 3 (mod 12) adalah x ≡ 7.3 (mod 12) ≡ 7^4-1.3 (mod 12) ≡ 7^5.3 (mod 12) ≡ 21 (mod 12) ≡ 9 (mod 12).

Teorema 6.3 Teorema Kecil Fermat

Jika p  adalah  suatu  bilangan  prima  dan p tidak membagi a, maka a^p-1  ≡  1 (mod p)                 

Bukti :

Karena p  adalah suatu bilangan prima  dan p  tidak  membagi a, maka  (p,a) = 1 (jika (p,a) 1 yaitu p dan a tidak relative  prima, maka p dan a mempunyai  factor selain 1 dan p, bertentangan dengan sifat p sebagai bilangan prima).

Selanjutnya, karena (p,a) = 1, maka menurut teorema 6.2, a≡ 1 (mod p). p adalah suatu bilangan prima, berarti dari bilangan-bilangan bulat :

               0, 1, 2, 3, … , p – 1

yang tidak relative prima dengan p hanya 0 ≡ p (mod p), sehingga :

               {1, 2, 3, … , p – 1 }

merupakan system residu tereduksi modulo dengan (p – 1) unsure, dengan demikian:

                 

Karena  dan a≡ 1 (mod p),  maka a≡ 1 (mod p)

Contoh 6.10

Carilah suatu x jika 2²⁵⁰ ≡ x (mod 7) dan 0 ≤ x < 7

Jawab :

       Karena 7 adalah bilangan prima, (2,7) = 1, dan , maka :

               2≡ 1 (mod 7)

               2⁶    ≡ 1 (mod 7)

               2²⁵⁰ = (2⁶)⁴¹.2⁴ ≡ 1.2⁴ (mod 7) ≡ 16 (mod 7) ≡2 (mod 7)

       Jadi : x = 2

Contoh 6.11

Carilah satu digit terakhir lambang bilangan basis 10 dari:

(a) 2⁵⁰⁰

(b) 7¹⁷⁵

Jawab :

Untuk mencari digit terakhir dari lambang bilangan basis 10, permasalahan dapat dipandang sebagai mencari x jika y ≡ x (mod 10). Karena 2.5 = 10 dan (2,5) = 1, maka y ≡ x (mod 10) dapat dinyatakan sebagai : y ≡ x (mod 2) dan y ≡ x (mod 5)       

(a) 2 ≡ 0 (mod 2), maka 2⁵⁰⁰ ≡ 0, 2, 4, 6, 8, … (mod 2)

       (5) = 4 dan (2,5) = 1, maka 2⁴ ≡ 1(mod 5),  sehingga

        2⁵⁰⁰ = (2⁴)¹²⁵ . 1 (mod 5)  ≡ 1, 6, 11, 16, 21, … (mod 5)

        Dengan demikian 2⁵⁰⁰ ≡ 6 (mod 2) dan 2⁵⁰⁰ ≡ 6 (mod 5), berarti

 2⁵⁰⁰ ≡ 6 (mod 10). Satu digit terakhir lambang bilangan basis 10 dari 2⁵⁰⁰  adalah 6.

(b) 7 ≡ 1(mod 2), maka 7¹⁷⁵  ≡ 1, 3, 5, … (mod 2)

(5) = 4 dan (7,5) = 1, maka 7⁴ ≡ 1 (mod 5), sehingga 

 7¹⁷⁵ = (7⁴)^45.73 ≡  7³ (mod 5) ≡ 2.2.2 (mod 5) ≡ 8 (mod 5) ≡ 3 (mod 5) ≡ 3, 8, 13, 18, … (mod 5). Dengan demikian  7¹⁷⁵ ≡ 3 (mod 2) dan 7¹⁷⁵ ≡ 3 (mod 5), berarti

 7¹⁷⁵  ≡ 3 (mod 10. Satu digit terakhir lambing bilangan basis 10 dari 7¹⁷⁵ adalah 3. 

Teorema 6.4

Jika (a,m) = 1, maka hubungan ax ≡ b (mod m) mempunyai selesaian x = a^-1 .b  + tm

Bukti :

Dari hubungan  ax ≡ b (mod m) , ruas kiri dan kanan perlu dikalikan dengan suatu factor sehingga koeffisien a menjadi 1. Pilihan factor adalah   a^-1  sebab sesuai dengan teorema Euler,  a^-1.a  = a ≡ 1 (mod m).

                ax ≡ b (mod m)

                a^-1  .a x  ≡ a^-1  . b (mod m)

                a x ≡ a^-1  . b (mod m)

                x ≡ a^-1  . b (mod m)

Karena tm ≡ 0 (mod m) untuk setiap bilangan bulat t, maka :

               x ≡  ≡  a^-1  . b + tm (mod m)

Jadi x = a^-1 .b + tm  adalah selesaian ax ≡ b (mod m)

Teorema 6.5 Teorema Wilson

Jika p adalah suatu bilangan prima, maka (p – 1)! ≡ -1 (mod p)

Bukti :

Untuk p = 2, kita dapat menentukan bahwa (p – 1)! = 1! = 1 ≡ -1 (mod 2), dengan demikian teorema benar untuk p = 2. Untuk p > 2, berdasarkan teorema 6.3 dan teorema 6.4, jika ax ≡  1 (mod p), dan (a,p) = 1, maka x ≡ a^-1 , a dan x disebut saling inverse modulo p.

Dengan demikian, setiap bilangan a yang memenuhi 1 ≤ a ≤  p – 1, tentu ada a  yang memenuhi 1 ≤ a^* ≤  p – 1, sehingga a.a^* ≡ 1 (mod p).

Perhatikan perkalian bilangan-bilangan:

                2.3. … ,(p – 3)(p – 2)

yang dapat dipasang-pasangkan ke dalam (p – 3)/2 pasangan, masing-masing pasangan mempunyai hasil kali sama dengan 1 modulo p. Hal ini dapat dilakukan karena masing-masing bilangan relative prima dengan p, yaitu (a,p) = 1, sehingga masing-masing bilangan mempunyai inverse. Akibatnya :

                2.3. … ,(p – 3)(p – 2) ≡ 1 (mod p)

sehingga :

                (p – 1)! = 1.2.3. … .(p – 3)(p – 2)(p – 1) ≡ 1.1.(p – 1) (mod p)

                             ≡ p – 1 (mod p)

                (p – 1)! ≡  – 1 (mod p)

Contoh 6.12

(7 – 1)! = 6! = 1.2.5.4.5.6 = 1.(2.4).(5.5).6 = 1.8.15.6 ≡ 1.1.1.6 (mod 7) ≡ – 1(mod 7)

(13 – 1)! = 12! = 1.2.5.4.5.6.7.8.9.10.11.12 = 1.(2.7).(5.9).(4.10).(5.8).(6.11).12

              = 1.14.27.40.40.66.12 ≡ 1.1.1.1.1.1.12 (mod 13) ≡ – 1 (mod 13)

Teorema 6.6

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif sehingga (n – 1)!  ≡ – 1 (mod n),  maka n adalah suatu bilangan prima. 

Buktikan !         

Teorema 6.5 dan teorema 6.6 memberikan petunjuk kepada kita untuk menggunakan teorema-teorema itu dalam pengujian keprimaan suatu bilangan.

Contoh 6.13

(15 – 1)! = 14! = 1.2.5.4.5.6.7.8.9.10.11.13.15.14 = 1.2.(15).4.6.7.8.9.10.11.13.15.14 ≡ 0 (mod 15)

(15 – 1)! = 14! tidak kongruen dengan – 1 (mod 15), maka 15 bukan suatu bilangan prima.

Tugas dan Latihan

Tugas

Carilah suatu buku teori bilangan yang membahas tentang Metode (p – 1) Pollard. Jelaskan Metode Pollard itu untuk apa, dan uraikan secara lengkap.

Berikan paling sedikit satu contoh penggunaan Metode (p – 1) Pollard

Latihan

1.        Carilah satu contoh  system  residu  tereduksi  modulo 16  yang  mempunyai  dua unsur negative.

2.        Jelaskan mengapa S = {-9, -33, 37, 67} bukan merupakan system residu tereduksi modulo 10.

3.        Carilah satu contoh system residu A yang lengkap modulo 12. Tambah  setiap unsur dalam system residu dengan sebarang bilangan kelipatan 12, sehingga  diperoleh himpunan B. Selidiki apakah B merupakan system residu lengkap modulo 12.

4.        Carilah sisanya jika 11³⁵ dibagi 13.

5.        Jika hari ini hari Rabu, maka carilah hari apa 97¹⁰¹ hari lagi.

6.        Carilah dua digit terakhir lambang bilangan desimal dari 39¹²⁵

7.        Carilah suatu bilangan bulat positif terkecil x jika 61! ≡ x – 1 (mod 71)

8.        Carilah suatu bilangan bulat positif terkecil x jika  7x ≡ 9 (mod 20)

Daftar Kepustakaan

Niven, I., Zuckerman, H.S., & Montgomery, H.L. (1995). An Introduction to The Theory of Numbers. New York : John Wiley & Sons.

Redmond, D. (1996). Number Theory. New York : Marcel Dekker.

Rosen, K.H. (1993). Elementary Number Theory and Its Applications. Massachusetts:       Addison-Wesley.

Read more ...